3 Материалдық туынды түсінігі

3.1. Көлем элементінің, бет элементінің және сызықтық элементтің уақыт бойынша материалдық туындысы

3.2 Көлемдік, беттік және сызықтық интегралдан уақыт бойынша материалдық туынды алу

Келешекте континуммның бірқатар қасиеттері континуумның ақырлы бөлігіндегі интеграл түрінде беріледі:

, (2.49)

мұндағы V – t уақытындағы тұтас ортаның қарастырылып отырған бөлігінің көлемі. – дан материалдық туынды алсақ, онда

, (2.50)

ал интегралдау континуумның анықталған бөлігінде (яғни массалардың жекелеген жүйесінде) жүргізілетіндіктен, дифференциалдау және интегралдау амалдарының орнын ауыстыруға болады. Онда

. (2.51)

(2.41) формуланы ескеріп дифференциалдасақ, онда

. (2.52)

(2.12) формуламен анықталатын индивуальды туынды операторы болғандықтан (2.52) теңдігін келесі түрде жазуға болады:

. (2.53)

(2.53) өрнектің оң жағының екінші мүшесін, (1.157) Гаусс – Остроградский теоремасы бойынша, беттік интегралға түрлендірсек, онда

. (2.54)

Соңғы формуладан келесі тұжырым шығады: берілген уақытта тұтас орта бөлігінің V көлемін алып жатқан шамасының жылдамдығының өзгеруі, бұл шаманың V көлемінің барлық ішкі нүктелерінің өзгеруінің қосындысына, шамасының V көлемін білдіретін S бетімен өтетін ағының қосқанға тең болады.

Беттік интегралдан және сызықтық интегралдан материалдық туынды алу ережесі көлемдік интегралдан туынды алғандағыдай болады.

Айталық, тұтас ортаның тензорлық қасиеті келесі беттік интегралмен өрнектелсін:

, (2.55)

мұндағы S – континуумның t уақытында қарастырылып отырған бөлігінің беті. Онда

. (2.56)

Осыдан (2.43) формуланы ескеріп беттік интегралдауды дифференциалдау ережесін аламыз:

. (2.57)

Келесі түрдегі сызықтық интегралмен өрнектелген шама берілсін:

. (2.58)

Соңғы интегралдан материалдық туынды алсақ, онда

. (2.59)

(2.59) формуланың оң жағындағы көрсетілген дифференциалдауды, (2.45) формуланы ескеріп орындасақ, онда сызықтық интегралдан материалдық туынды алу ережесін аламыз:

. (2.60)